Cách giải các bài toán xác suất

290 lượt đọc

Chúng ta có thể giải nhiều bài toán xác suất đơn giản chỉ cần biết hai quy luật giản đơn sau:

  • Xác suất của bất kỳ điểm mẫu (sample point) nào có thể nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
  • Tổng xác suất của tất cả các điểm mẫu trong không gian mẫu (sample space) bằng 1.

Các bài toán mẫu sau đây chỉ ra cách áp dụng các quy tắc này để tìm (1) xác suất của một điểm mẫu và (2) xác suất của một sự kiện.

Xác suất của một điểm mẫu

Xác suất của điểm mẫu là thước đo khả năng xảy ra điểm mẫu.

Ví dụ 1

Giả sử chúng ta tiến hành một thử nghiệm thống kê (statistical experiment) đơn giản. Thử tung đồng xu một lần sẽ được hai kết quả là ngửa và sấp với khả năng xảy ra tương đương nhau. Cùng với nhau, hai kết quả ngửa – sấp này thể hiện toàn bộ không gian mẫu của thử nghiệm tung đồng xu. Còn nếu tách riêng hai kết quả, bản thân mỗi kết quả sẽ là đại diện cho một điểm mẫu trong không gian mẫu. Vậy xác suất của mỗi điểm mẫu là bao nhiêu?

Bài giải: Tổng xác suất của tất cả các điểm mẫu phải bằng 1. Và xác suất ngửa ngang bằng với sấp. Do đó, xác suất của mỗi điểm mẫu (ngửa hoặc sấp) phải bằng 1/2.

Ví dụ 2

Giờ ta hãy lặp lại thí nghiệm của Ví dụ 1, với một con súc sắc thay vì một đồng xu. Nếu chúng ta tung con xúc xắc một cách không thiên vị, xác suất của mỗi điểm mẫu là bao nhiêu?

Giải: Đối với thí nghiệm này, không gian mẫu bao gồm sáu điểm mẫu: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mỗi điểm mẫu có xác suất bằng nhau. Và tổng xác suất của tất cả các điểm mẫu phải bằng 1. Do đó, xác suất của mỗi điểm mẫu phải bằng 1/6.

Xác suất của một sự kiện

Xác suất của một sự kiện là thước đo khả năng sự kiện đó sẽ xảy ra. Theo quy ước, các nhà thống kê đã thống nhất các quy tắc sau đây.

  • Xác suất của bất kỳ sự kiện nào có thể nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
  • Xác suất của biến cố A là tổng các xác suất của tất cả các điểm mẫu trong biến cố A.
  • Xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A).

Do đó, nếu sự kiện A rất khó xảy ra, thì P(A) sẽ càng gần với 0. Và nếu sự kiện A rất có khả năng xảy ra, thì P(A) sẽ gần với 1.

Ví dụ 1

Giả sử chúng ta rút một lá bài từ một bộ bài đang chơi. Xác suất mà chúng ta rút được một con bích là gì?

Bài giải: Không gian mẫu của thí nghiệm này gồm 52 lá bài, và xác suất của mỗi điểm mẫu là 1/52. Vì có 13 quân bích trong bộ bài nên xác suất rút được quân bích là.

P(Bích) = (13)x(1/52) = 1/4

Ví dụ 2

Giả sử một đồng xu được tung 3 lần. Xác suất để có được hai sấp và một ngửa là bao nhiêu?

Giải: Đối với thí nghiệm này, không gian mẫu bao gồm 8 điểm mẫu.

S(không gian mẫu) = {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS,NNN}

S: sấp; N: ngửa

Mỗi điểm mẫu đều có khả năng xảy ra như nhau, do đó xác suất nhận được một điểm mẫu bất kỳ là 1/8. Sự kiện “hai sấp và một ngửa” sẽ bao gồm tập con sau của không gian mẫu.

A = {SSN, SNS, NSS}

Xác suất của Sự kiện A là tổng các xác suất của các điểm mẫu trong A. Do đó,

P(A) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8