[Book Quotes] Chứng minh, nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương 2 cạnh còn lại thì góc ở giữa 2 cạnh đó là góc vuông

139 lượt đọc

Cho bình phương một cạnh, BC, của tam giác ABC, bằng tổng bình phương của các cạnh BA và AC. Có thể phát biểu rằng, BAC là góc vuông.

Từ điểm A vẽ đoạn AD vuông góc với đoạn AC, và lấy đoạn AD bằng BA, rồi nối đoạn DC. Do DA bằng AB, nên bình phương DA cũng bằng bình phương AB. Thêm bình phương AC vào cả hai giá trị này, thì tổng các bình phương của DA và AC bằng tổng bình phương của BA và AC (Tiên đề bổ sung: Bình phương của những thứ bằng nhau cũng bằng nhau). Nhưng do bình phương của DC bằng tổng các bình phương của DA và AC vì DAC là góc vuông. Hơn nữa, theo giả thiết thì bình phương cạnh BC bằng tổng bình phương của các cạnh BA và AC. Do vậy bình phương của DC bằng bình phương của BC. Vậy nên cạnh DC bằng BC. Và do DA bằng AB, cạnh AC là cạnh chung, nên cặp cạnh DA, AC bằng cặp cạnh BA, AC. Đáy DC bằng đáy BC. Do đó, góc DAC bằng BAC. Nhưng góc DAC là góc vuông, nên góc BAC cũng là góc vuông.

Như vậy, nếu bình phương một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương các cạnh còn lại thì góc nằm giữa hai cạnh còn lại này là góc vuông. Đây chính là điều cần phải chứng minh.

Nguồn: Sách Cơ sở của Hình học, trang 88.